自序


　本書の中に、「“虫喰い算”大会」の会場が、第一会場から始まって第三十会場まである。われと思わん方は御遠慮なく、第一会場から出発して、智慧だめし、根だめしをなされたい。
「虫喰い算」とは、そもそもどんなものであるか。
　簡単にいえば、「虫喰い算」とは、虫に喰われて判読できない数字を、推理の力によって判定する算数学のことである。
　但し学といっても、頭の芯がじーんと痛くなり、苦しみのほか、何もないというような詰らないものではない。「虫喰い算」は非常におもしろく楽しいもので、一旦これで遊んだものは、終生「虫喰い算」のうれしい味を忘れ得ないであろう。私も二十年来これを愛好し、時にはこれを探偵小説に組立てて書いたこともあった（海野十三作『暗号数字』）。
　本書の中には、「虫喰い算」の親類筋にあたる「覆面算」もいくつかおさめてある。「覆面算」というのは、数字が虫に喰われて穴があいているのではなく、文字または符号の覆面をつけている計算なのであって、みなさんたち学徒の名探偵は、その覆面を推理の力で叩き落して数字を剥がし出すのだ。
　この両方をひっくるめて、ここに「“虫喰い算”大会」を開いてあるが、会場の初めの方はやさしいが、だんだん後の方の会場となるとむずかしくなる。その代り「虫喰い算」の魅力はだんだんに強く加わり、最後の第三十会場までが残り少くなるのが惜しまれるようになるであろう。第一会場を合格すれば第一階選士と名乗る。が、第三十階選士となるには、とてもたいへんである。
　やさしい問題は中学校の一年生でも解ける。一等むずかしい問題でも、高校生なら解けるであろう。しかもこの「虫喰い算」の魅力は、大学教授をして鉛筆を嘗（な）めながら呻（うな）らせる魔力をも備えていて、実に神秘なところがある。
　本書にはわざと空白を用意してあるが、そこでは部分的計算や、やりかえしをするために、せいぜい鉛筆を運動せられて然るべし。
　本書には全部で百三十二箇の問題を集め得たが、これだけ集めるのにも、ずいぶん苦心し、且つ長い年月を要した。もっと多くの新しい問題を探し出したいと思うが、私が二十年で得たものはこれで全部である。同好の諸氏で御存じならば御恵投を煩わしたい。最後に本書は次ぎの各書を参考としたことを記し、謝意と敬意とを表する。

　　　昭和二十一年正月七日

［＃改段］

　　１　虫喰い算とは？


　古い大福帳や証文や勘定書などがしみという虫に喰われており、肝腎（かんじん）の数字のところが穴になっている。さあたいへん、困ったことになった。そういうとき推理の力でもって、その穴になった数字はこういう数字であらねばならぬと判別する。この算数学がいわゆる「虫喰い算」と称（よ）ばれるものである。
　もちろん、一金五万円也、右借用候事しかじかというような一本建の数値だけがあってそのうちの数字が虫に喰われているのでは、探しようがないが、もしそれが加減乗除の運算書であれば、その一部が虫に喰われていても、前後の関係から推理によって正確に判別することができる。時には、数字の全部が虫に喰われていても、それらの数字の配列が分ってさえいれば、推理の力を積んでその全数字をいい当てることができる。
　なお「虫喰い算」に似たものに「覆面算」と名附けるものがある。これは虫喰い算ではその数字が虫に喰われて穴があいているのに対し、「覆面算」では符号または文字になっているのだ。もちろん数字は１から９までの外に０の十箇だから、その覆面の符号または文字は十箇以内に限られる。
「虫喰い算」と「覆面算」と、どっちが面白いか。それは人によって違うが、私はどっちも面白いと思う。
「虫喰い算」を解く鍵は、普通の場合、まず初めに０の数字か、１の数字であらねばならぬところの穴を探し出すことにある。
「覆面算」では、同様のこともあるけれど、同じ文字又は符号がいろいろな関係で並んでいるところからして、ははあ、この文字はこっちの文字の二倍だなどという相互関係が見出されると、後は急に解けやすくなる。
　虫喰い算の類を解くときは、徹頭徹尾推理の力で推していくところに興味と実益があるのであって、１かなあ、それとも２かなあ、それでなければ３かというふうに、いちいち代入法でやって行くやり方は面白くない。
　虫喰い算は、序文にも述べてあるとおり、中級以上のものは一題一題が宝石のように尊く且つ愛（め）ずべきものであるからして、なるべくじっくりと解いていただきたい。一日に十題も二十題も解くことは、頭も疲れるし、それに虫喰い算の妙味が分らないと思う。
　そこで本書の“虫喰い算”大会の設計に当っても、やさしいものとむつかしいものとを交ぜて四題ぐらいを一会場とすることとした。
　なお、第一会場から第三十会場までのうち、初めの三分の一ぐらいは割合とやさしいが、それから先はだんだんと複雑難解なるものが入って来、それだけに推理に成功すれば嬉しさがこみあげる。第二十会場以後となると、虫喰い算の愛好者にとっては、こたえられないほどの歓喜と興奮とをもたらすことであろうと思う。


　　２　やさしい虫喰い算とその解き方


　まずやさしい虫喰い算の方から、その解き方を述べて行く。
【例題一】　次頁のような加え算がある。四角の穴は、いわゆる虫の喰ったところである。そういうものが、この問題には四つある。これを推理で探しあてるのだ。

　　１□９２
　　２９□１
　　９７１□
＋　２□１７
――――――
　１７５９２

　まず右端の縦列の□から考えて行く。これは一の位である。２と１と□と７とを加えた結果、その値の一位は２となることが、この計算によって分っている。□は別として、分っている２と１と７とを加えると10［＃「10」は縦中横］となる。しかるに、一の位の合計の一位の数字は０ではなくて２である。するとこれは□が０ではなく、２であることが推理される。そこでその２を書き入れ、左上のようになる。

　　１□９２
　　２９□１
　　９７１２
＋　２□１７
――――――
　１７５９２

次は十の位だ。一位から１が送られていることを忘れてはならぬ。やはり□が一つある。それを別にして、分っている数字９と１と１と、一位からくりあがった１とを加えると、その結果は12［＃「12」は縦中横］となる。しかるに、十位の合計の十の位は９となっていて、２ではない。これはつまり十位の□を加えてないからこうなるわけだから、９から２を引いて７、この７が□の数字と決まる。そこで計算を整理すると右下のようになる。

　　１□９２
　　２９７１
　　９７１２
＋　２□１７
――――――
　１７５９２

　その次は百位だ。これは今までのようには行かない。□が二つもあるからだ。分っている９と７とを加え、それに十位から上がってきた１を加えて17［＃「17」は縦中横］となる。この縦列の合計の数字は５であるから、□と□との合計は８であるかもしれず、18［＃「18」は縦中横］であるかもしれない。さあ分からなくなった。
　が、困ることはない。もう一つ上の千位の数字を見ると、この縦列には□がない。１と２と９と２を加えて14［＃「14」は縦中横］となるが、下の合計では17［＃「17」は縦中横］となっている。すると百位から千位へ送られた数字は17［＃「17」は縦中横］から14［＃「14」は縦中横］を引いた３だと分る。
　そうなると百位の二つの□の和は８ではなくて18［＃「18」は縦中横］であらねばならぬ。18［＃「18」は縦中横］でないと、３は上ってこない。
　これで一応解けたわけだ。□と□の合計が18［＃「18」は縦中横］となる関係があれば、どんな数字でもいいのだ。いや、どんな数字というわけにもいかない。二数字の和で18［＃「18」は縦中横］なら、いずれも９である外にない。なぜなら９以上の数字はこの縦列に存在しないわけで、ぜひとも９でなければならないのだ。そこで答は上の如く決まった。

　　１９９２
　　２９７１
　　９７１２
＋　２９１７
――――――
　１７５９２

　同じ加え算でも、「覆面算」ふうなものが加わった場合がある。次の例題がそれだ。

【例題二】　Ｎという文字で現わされた数字が五箇所に入っている加え算である。もちろん、どのＮも同じ数字である。

　　２Ｎ８
　　２Ｎ２
　　８８Ｎ
＋　Ｎ２Ｎ
―――――
　２１６４

　この配列を見ると、どこから手をつけていいか分らぬようであるが、しばらく見ていると鍵が発見される。それは一位の四数字の和が８と２と二箇のＮであり、また十位の四数字も同じく８と２と二箇のＮである点だ。しかもこの合計を下列でみると、一位では４だし、十位では６となっている。これだ、鍵は。
　これは一体どういうことを意味するか。一位から十位へあがった数字は、６から４を引いた２であることを意味する。
　どうして２をあげることができるか。８と２を加えて10［＃「10」は縦中横］だから、これでまず１があがる。その外に二つのＮがあるから、この和で１があがらねばならぬ。すると二つのＮの和は14［＃「14」は縦中横］である。よってＮは７だということになる。
　うそだと思ったら五箇のＮに７を代入して検算してみるがよろしい。こういうやり方では、百位のＮにはついに手をつけないで解くことができた。一刀両断の快味に、ちょっと似ている。

　引き算を一つやってみよう。やさしいものであるが……。

【例題三】　これは国民学校の一年生でもできるであろう。一位からやって行く。

　□８４５６２
－　８□１□３
―――――――
　６□７□７□

　２から３は引けないから、十位から10［＃「10」は縦中横］を借りて、12［＃「12」は縦中横］から３を引いて９が出る。
　次は十の位だ。６は既に５に減っている。それから□を引いて７が出るというからには、この□は逆算して８でなければならぬ。この際、百位から10［＃「10」は縦中横］を借りた。
　次は百位だが、被減数の５は、先に１を右へ貸したから４となっている。だからそれから１を引くと３であるから、□は３と決まった。
　次は千位。これはわけなしだ。□は７であらねばならぬ。但し上から10［＃「10」は縦中横］を借りた。
　万の位では、被減数の８は下へ１を貸したので、実は７である。それから８を引けば９である。□は９と決まる。
　十万の位の□は７である。なぜなら下へ１を貸してあって、答は６となっているから、７にちがいない。これで出来た。上のようになる。

　７８４５６２
－　８７１８３
―――――――
　６９７３７９

　次は掛け算の場合である。掛け算だからといって別にやり方が根本的にちがうわけではないが、一つの方針をごらんにいれておきたいと思う。

【例題四】　この問題を見ると、虫喰い穴が八箇所もある。こんなに穴だらけで、果して推理の力で解けるだろうかと不安になる。

　　　９７□
×　　　□８
――――――
　　□□□０
　　９□□
――――――
　１７５□０

　しかししばらくこの計算をながめていると、そのうちに有力なる手懸りが発見されるのだ。そこが興味津々たるところだ。
　すなわち、まず第一の手懸りは、乗数の十位の穴は、１であるということだ。なぜなれば、上から四段目を見ると、三桁の数であり、その百位は９に始まっている。しかるに被乗数を見ると、やはり三桁であり、百位の数字は９である。すると乗数の十位は１であらねばならぬことが分る。そうなると上から第一段目と第四段目とは同じ数である。そこで上のように穴を二つふさぐことができた。

　　　９７□
×　　　１８
――――――
　　□□□０
　　９７□
――――――
　１７５□０

　第二の手懸りは、乗数の一位の８を、被乗数の一位の□に掛けると、その答の一位は、８の字の下にあるとおり０となるのだ。そういう場合、□はどんな数字でもいいというわけには行かぬ。すなわち□は０か５かのどっちかであらねばならぬ。そうでないと第三段目の右端の数字は０とならない。
　では、０か５か、どっちであるか。それを判定する段取に移る。
　□は０ではない。なぜなら、第三段目は、7760 となり、第四段目は 970 でそれを加えると、第五段目のように 175 云々とはならず、174 云々となって勘定が足りない。そこで被乗数の一位の□は、５であらねばならぬと決定する。
　□を５として計算してみると、正しく右頁左下の如く、ちゃんと勘定が合うのである。

　　　９７５
×　　　１８
――――――
　　７８００
　　９７５
――――――
　１７５５０

　次は、割り算である。割り算は虫喰い算としての面白さを十分に備えている。すぐれた虫喰い算は、たいてい割り算の形をとっている。次にあげたのは、やさしい割り算の虫喰い算である。

【例題五】　この問題では、二桁の除数が穴になっているし、答も十位が穴だし、計算の中にも六箇所の穴があいている。

　　　　□３
　　＿＿＿＿
□□）９４９
　　　□□
　　――――
　　　□□９
　　　□□９
　　――――
　　　　　０

　なおよく見るのに、肝腎の除数が全然不明であり、またその答も半分しか判明しておらず、これではどうにも手のつけようがない――ように思われる。
　が、しばらく気を落着けて、じっとこの運算書を眺めていると、うまい手懸りがだんだんと見つかってくるのである。まず第一に除数の一位の穴が３であることに気がつく。そのわけはこうだ。除数に答の一位の数である３をかけたとき、その計算の一位の数は９となっている（上から五段目の右端）。つまり、３に或る数（除数の一位）をかけて、答の一位に９が出てくるためには、その或る数は３の外にないのだ。３３が９であるからだ。そこで上のように、穴を一つうめることができた。

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